Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1}(\sqrt[4]{u}+1)^{2} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}\,du.
Informações dadas e o que se pede:
  • O integrando é \bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro comentário útil (sem resolver ainda): a função \sqrt[4]{u} está bem definida para u\in[0,1] e a soma \sqrt[4]{u}+1 é contínua em [0,1]. Portanto a função integrando é contínua e integrável no intervalo, o que nos permite manipular a integral com tranquilidade (por exemplo, expandir o integrando e integrar termo a termo).

Passo 3

Vamos expandir o quadrado para simplificar a integração. Lembre que \sqrt[4]{u}=u^{1/4} e que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando isso:
\bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}=(u^{1/4})^{2}+2\cdot u^{1/4}\cdot 1+1^{2}.
Agora calcule as potências:
(u^{1/4})^{2}=u^{1/2}.
Portanto o integrando fica
u^{1/2}+2u^{1/4}+1.

Passo 4

Usamos a linearidade da integral (uma propriedade básica): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Assim
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}\,du = \int_{0}^{1}u^{1/2}\,du + 2\int_{0}^{1}u^{1/4}\,du + \int_{0}^{1}1\,du.
Agora integramos cada termo separadamente usando a regra da potência.

Passo 5

Regra da potência para integrais indefinidas (a aula rápida): para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula vem de derivar u^{n+1}/(n+1) e verificar que volta u^{n}. Vamos aplicar para cada termo e depois avaliar nos limites 0 e 1.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du: aplicando a regra com n=\tfrac{1}{2},
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Avaliando de 0 a 1:
\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0^{3/2}\bigr)=\frac{2}{3}.
  1. Para \displaystyle 2\int_{0}^{1}u^{1/4}\,du: primeiro a integral sem o 2,
\int u^{1/4}\,du=\frac{u^{1/4+1}}{1/4+1}=\frac{u^{5/4}}{5/4}=\frac{4}{5}u^{5/4}.
Multiplicando por 2 e avaliando de 0 a 1:
2\left.\frac{4}{5}u^{5/4}\right|_{0}^{1}=2\cdot\frac{4}{5}\bigl(1^{5/4}-0^{5/4}\bigr)=\frac{8}{5}.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1}1\,du: a primitiva de 1 é u, logo
\left.u\right|_{0}^{1}=1-0=1.

Passo 6

Agora somamos os três resultados:
\frac{2}{3}+\frac{8}{5}+1.
Para somar, colocamos em denominador comum 15:
\frac{2}{3}=\frac{10}{15},\qquad \frac{8}{5}=\frac{24}{15},\qquad 1=\frac{15}{15}.
Somando:
\frac{10}{15}+\frac{24}{15}+\frac{15}{15}=\frac{49}{15}.

Passo 7

Breve checagem alternativa (opcional, para ganhar confiança): se fizéssemos a substituição \\ t=\sqrt[4]{u}=u^{1/4}, então u=t^{4} e du=4t^{3}dt. Os limites u=0 e u=1 viram t=0 e t=1. A integral vira
\int_{0}^{1}(t+1)^{2}\cdot 4t^{3}\,dt,
que ao expandir e integrar termo a termo também leva a \tfrac{49}{15}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{49}{15}

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