Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas. \int_{0}^{1}(\sqrt[4]{u}+1)^{2} d u
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}\,du.
Informações dadas e o que se pede:
O integrando é \bigl(\sqrt[4]{u}+1\bigr)^{2}.
O intervalo de integração é [0,1].
Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Primeiro comentário útil (sem resolver ainda): a função \sqrt[4]{u} está bem definida para u\in[0,1] e a soma \sqrt[4]{u}+1 é contínua em [0,1]. Portanto a função integrando é contínua e integrável no intervalo, o que nos permite manipular a integral com tranquilidade (por exemplo, expandir o integrando e integrar termo a termo).
Passo 3
Vamos expandir o quadrado para simplificar a integração. Lembre que \sqrt[4]{u}=u^{1/4} e que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando isso:
Agora integramos cada termo separadamente usando a regra da potência.
Passo 5
Regra da potência para integrais indefinidas (a aula rápida): para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula vem de derivar u^{n+1}/(n+1) e verificar que volta u^{n}. Vamos aplicar para cada termo e depois avaliar nos limites 0 e 1.
Para \displaystyle\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du: aplicando a regra com n=\tfrac{1}{2},
Breve checagem alternativa (opcional, para ganhar confiança): se fizéssemos a substituição \\ t=\sqrt[4]{u}=u^{1/4}, então u=t^{4} e du=4t^{3}dt. Os limites u=0 e u=1 viram t=0 e t=1. A integral vira
\int_{0}^{1}(t+1)^{2}\cdot 4t^{3}\,dt,
que ao expandir e integrar termo a termo também leva a \tfrac{49}{15}. Isso confirma o resultado anterior.