Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1}(1-x)^{9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(1-x)^{9}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é (1-x)^{9}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • A função (1-x)^{9} é contínua em [0,1], logo a integral definida existe e é finita.

Passo 2

Qual método usar? Aqui o integrando tem a forma de uma potência de uma expressão linear em x. A técnica mais direta é uma substituição simples que transforma a expressão numa potência pura, seguida da aplicação da regra do poder para integrais. Essa combinação é rápida e envolve pouca álgebra, ideal para prova.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1-x.
Então
du = -dx \quad\text{ou}\quad dx = -du.
Mudança dos limites: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=0. Assim a integral torna-se
\int_{0}^{1}(1-x)^{9}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} u^{9}(-du).
O sinal negativo inverte os limites, portanto
\int_{u=1}^{u=0} u^{9}(-du) = \int_{0}^{1} u^{9}\,du.

Passo 4

Agora usamos a regra do poder para integrais (explicando bem): para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Essa fórmula vem do fato de que, pela derivada, \dfrac{d}{du}\bigl(u^{n+1}\bigr)=(n+1)u^{n}, então ao dividir por n+1 recuperamos u^n. No nosso caso n=9, então
\int u^{9}\,du = \frac{u^{10}}{10}+C.

Passo 5

Aplicando a antiderivada aos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} u^{9}\,du = \left.\frac{u^{10}}{10}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10} = \frac{1}{10}.

Passo 6

Verificação rápida / generalização: para inteiro n\ge 0 vale
\int_{0}^{1}(1-x)^{n}\,dx = \frac{1}{n+1},
que é exatamente o caso com n=9. Outra forma (mais trabalhosa) seria expandir (1-x)^{9} pelo binômio de Newton e integrar termo a termo; o resultado coincide, mas a substituição + regra do poder é muito mais simples na prova.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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