Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}}
(b)
\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{16-x^{2}}}
(c)
\int_{0}^{4} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x
(d)
\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular quatro integrais impróprias envolvendo singularidades em x=0 ou em x=4. O conteúdo principal é a definição de integral imprópria, que consiste em escrever cada integral como um limite quando o ponto de singularidade é aproximado, e depois avaliar esse limite. Em seguida, identificamos se o resultado converge (é um número finito) ou diverge (vai para infinito ou não existe de forma bem-comportada).

Passo 2

Vamos calcular
\int_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}}.
Observe que há singularidade em x=0. Escrevemos
\int_{0}^{4} x^{-\tfrac12}dx = \lim_{a\to0^{+}} \int_{a}^{4} x^{-\tfrac12}dx.
A primitiva de x^{-\tfrac12} é
\int x^{-\tfrac12}dx = 2\sqrt{x}.
Portanto
\int_{a}^{4} x^{-\tfrac12}dx = \Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_{x=a}^{x=4} = 2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{a}\bigr) = 4 - 2\sqrt{a}.
Fazendo a\to0^{+}, obtemos 4. Logo, essa integral converge para 4.

Passo 3

Agora
\int_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^{2}}}.
Aqui não há problema em x=0 (o integrando vale 1/4 lá), mas há singularidade em x=4 porque \sqrt{16 - x^{2}}\to0. Escrevemos
\int_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \lim_{b\to4^{-}} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^{2}}}.
Usamos a primitiva padrão
\int \frac{dx}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr).
Então
\int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \Bigl[\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\Bigr]_{0}^{b} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{b}{4}\bigr) - \arcsin(0).
Fazendo b\to4^{-}, \tfrac{b}{4}\to1 e \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}, \arcsin(0)=0. Logo a integral converge para \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora
\int_{0}^{4} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Há singularidade em x=0. Fazemos a substituição t=\sqrt{x}, logo x=t^{2} e dx=2t\,dt. Quando x vai de 0 a 4, t vai de 0 a 2. O integrando vira
\frac{e^{-t}}{t}\cdot 2t\,dt = 2e^{-t}dt.
Assim
\int_{0}^{4} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{2} 2e^{-t}dt = 2\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{2} = 2\bigl(-e^{-2} + 1\bigr) = 2\bigl(1 - e^{-2}\bigr).
Portanto essa integral converge para 2\bigl(1 - e^{-2}\bigr).

Passo 5

Por fim
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{3}}.
Aqui há singularidade em x=0. Devemos separar em duas integrais impróprias:
\int_{-1}^{1} x^{-3}dx = \lim_{a\to0^{-}} \int_{-1}^{a} x^{-3}dx \;+\; \lim_{b\to0^{+}} \int_{b}^{1} x^{-3}dx.
A primitiva de x^{-3} é
\int x^{-3}dx = -\frac{1}{2x^{2}}.
Para a\to0^{-},
\int_{-1}^{a} x^{-3}dx = \Bigl[-\tfrac{1}{2x^{2}}\Bigr]_{-1}^{a} = -\tfrac{1}{2a^{2}} - \bigl(-\tfrac{1}{2\cdot1^{2}}\bigr) = -\tfrac{1}{2a^{2}} + \tfrac12 \;\xrightarrow[a\to0^{-}]{}\; -\infty.
Como já diverge para -\infty no lado esquerdo, toda a integral não converge.

Resposta

(a) Converge e vale 4.
(b) Converge e vale \tfrac{\pi}{2}.
(c) Converge e vale 2\bigl(1 - e^{-2}\bigr).
(d) Diverge.

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