Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int_{1}^{4} \ln (\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} \ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos lembrar que a fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e será preciso derivar logaritmos e integrar funções polinomiais simples.

Passo 2

Observamos que
\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr) = \frac{1}{2}\,\ln x,
portanto
\int_{1}^{4} \ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,\int_{1}^{4} \ln x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{1}^{4}\ln x\,dx usamos integração por partes escolhendo
u = \ln x,\quad dv = dx
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du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = x.
Aplicando
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Passo 4

Avaliamo-lo de 1 a 4 e depois retornamos à integral original:
\int_{1}^{4}\ln x\,dx = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{4} = (4\ln4 - 4) - (1\cdot0 - 1) = 4\ln4 - 3.
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\int_{1}^{4}\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(4\ln4 - 3\bigr) = 2\ln4 - \tfrac{3}{2} = 4\ln2 - \tfrac{3}{2}.

Resposta

4\ln2 - \frac{3}{2}

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