Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}(2 \theta) \cos ^{2}(3 \theta) \mathrm{d} \theta.
\int \operatorname{sen}(2 \theta) \cos ^{2}(3 \theta) \mathrm{d} \theta.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
. Não há outras condicionantes (constante de integração
será adicionada no final).
Passo 2
Primeiro passo prático: reduzir o termo
usando a identidade trigonométrica conhecida
Explicando a identidade: ela vem da fórmula do cosseno duplo
; isolando
obtemos a forma acima. Aqui aplicamos com
, então
Substituindo na integral inicial temos
Passo 3
Simplifico o fator
e distribuo dentro da integral:
Agora eu tenho duas integrais: uma simples de
e outra que é produto
.
Passo 4
Para a integral do produto uso a identidade produto-para-soma:
Essa identidade pode ser lembrada a partir das fórmulas de soma de senos. Aplico com
e
:
Como
, isso vira
Passo 5
Substituo essa expressão de volta na integral e junto com o
que estava na frente:
Assim a integral inteira se transforma em soma de integrais simples:
Passo 6
Agora integro termo a termo. Uso a fórmula básica
que vem da substituição
. Aplicando a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração
, obtenho a primitiva geral:
Posso verificar rapidamente derivando: cada termo dá de volta as sines com os fatores corretos, então a soma deriva para
.