Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}(2 \theta) \cos ^{2}(3 \theta) \mathrm{d} \theta.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de \operatorname{sen}(2\theta) por \cos^{2}(3\theta). O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma expressão F(\theta) tal que F'(\theta)=\operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta). Não há outras condicionantes (constante de integração C será adicionada no final).

Passo 2

Primeiro passo prático: reduzir o termo \cos^{2}(3\theta) usando a identidade trigonométrica conhecida
\cos^{2}x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explicando a identidade: ela vem da fórmula do cosseno duplo \cos(2x)=2\cos^{2}x-1; isolando \cos^{2}x obtemos a forma acima. Aqui aplicamos com x=3\theta, então
\cos^{2}(3\theta)=\frac{1+\cos(6\theta)}{2}.
Substituindo na integral inicial temos
\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta)\,\mathrm{d}\theta = \int \operatorname{sen}(2\theta)\cdot\frac{1+\cos(6\theta)}{2}\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Simplifico o fator \tfrac{1}{2} e distribuo dentro da integral:
\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2\theta)\,\mathrm{d}\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos(6\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Agora eu tenho duas integrais: uma simples de \operatorname{sen}(2\theta) e outra que é produto \operatorname{sen}(2\theta)\cos(6\theta).

Passo 4

Para a integral do produto uso a identidade produto-para-soma:
\operatorname{sen}a\cos b = \frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a-b)\big).
Essa identidade pode ser lembrada a partir das fórmulas de soma de senos. Aplico com a=2\theta e b=6\theta:
\operatorname{sen}(2\theta)\cos(6\theta)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(8\theta)+\operatorname{sen}(-4\theta)\big).
Como \operatorname{sen}(-4\theta)=-\operatorname{sen}(4\theta), isso vira
\operatorname{sen}(2\theta)\cos(6\theta)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(8\theta)-\operatorname{sen}(4\theta)\big).

Passo 5

Substituo essa expressão de volta na integral e junto com o \tfrac{1}{2} que estava na frente:
\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos(6\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\int \frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(8\theta)-\operatorname{sen}(4\theta)\big)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(8\theta)\,\mathrm{d}\theta - \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(4\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Assim a integral inteira se transforma em soma de integrais simples:
\int \operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2\theta)\,\mathrm{d}\theta - \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(4\theta)\,\mathrm{d}\theta + \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(8\theta)\,\mathrm{d}\theta.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Uso a fórmula básica
\int \operatorname{sen}(k\theta)\,\mathrm{d}\theta = -\frac{1}{k}\cos(k\theta)+C,
que vem da substituição u=k\theta\Rightarrow \mathrm{d}u=k\,\mathrm{d}\theta. Aplicando a cada termo:
  1. Para \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2\theta)\,\mathrm{d}\theta:
\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right) = -\frac{1}{4}\cos(2\theta).
  1. Para -\frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(4\theta)\,\mathrm{d}\theta:
-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\cos(4\theta)\right) = \frac{1}{16}\cos(4\theta).
  1. Para \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(8\theta)\,\mathrm{d}\theta:
\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{8}\cos(8\theta)\right) = -\frac{1}{32}\cos(8\theta).

Passo 7

Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração C, obtenho a primitiva geral:
-\frac{1}{4}\cos(2\theta) + \frac{1}{16}\cos(4\theta) - \frac{1}{32}\cos(8\theta) + C.
Posso verificar rapidamente derivando: cada termo dá de volta as sines com os fatores corretos, então a soma deriva para \operatorname{sen}(2\theta)\cos^{2}(3\theta).

Resposta

-\frac{1}{4}\cos(2\theta) + \frac{1}{16}\cos(4\theta) - \frac{1}{32}\cos(8\theta) + C

Exercícios relacionados