Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{2}(2 t) \cos (t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\cos(t)\,dt.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{2}(2t)\cos(t). A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(t) tal que F'(t)=\operatorname{sen}^{2}(2t)\cos(t). Não há outras condições (como intervalo ou valor inicial).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma \operatorname{sen}^2 em expressão com cosseno para facilitar a integração. A identidade é
\operatorname{sen}^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explicando por que isso vale: partimos da fórmula do cosseno duplo \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x. Isolando \operatorname{sen}^2 x obtemos a identidade acima. Aqui cada símbolo significa: x é um ângulo qualquer, \operatorname{sen}^2 x significa (\operatorname{sen} x)^2.

Passo 3

Aplicando a identidade com x=2t temos
\operatorname{sen}^2(2t)=\frac{1-\cos(4t)}{2}.
Substituindo isso na integral original obtemos
\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\cos(t)\,dt = \int \frac{1-\cos(4t)}{2}\cos(t)\,dt.

Passo 4

Distribuindo o fator 1/2 e expandindo o produto:
\int \frac{1-\cos(4t)}{2}\cos(t)\,dt = \int \left(\frac{1}{2}\cos(t) - \frac{1}{2}\cos(4t)\cos(t)\right)\,dt.
Portanto precisamos integrar \frac{1}{2}\cos t e -\frac{1}{2}\cos(4t)\cos t.

Passo 5

Para integrar o termo com produto de cossenos usamos a fórmula produto-para-soma:
\cos A\cos B = \frac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Aqui A=4t e B=t, logo
\cos(4t)\cos(t)=\frac{1}{2}\big(\cos(5t)+\cos(3t)\big).
Substituindo de volta:
\frac{1}{2}\cos(t)-\frac{1}{2}\cos(4t)\cos(t) = \frac{1}{2}\cos(t) - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big(\cos(5t)+\cos(3t)\big) = \frac{1}{2}\cos(t) - \frac{1}{4}\cos(5t) - \frac{1}{4}\cos(3t).

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica: para constante k\neq 0,
\int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t)+C,
pois a derivada de \sin(k t) é k\cos(k t). Aplicando essa regra:
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos(t)\,dt = \frac{1}{2}\sin(t).
  • \displaystyle \int -\frac{1}{4}\cos(3t)\,dt = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\sin(3t) = -\frac{1}{12}\sin(3t).
  • \displaystyle \int -\frac{1}{4}\cos(5t)\,dt = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}\sin(5t) = -\frac{1}{20}\sin(5t).

Passo 7

Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva da função original:
\frac{1}{2}\sin(t) - \frac{1}{12}\sin(3t) - \frac{1}{20}\sin(5t) + C.
Podemos checar rapidamente derivando: derivada de \sin(kt) é k\cos(kt), e ao combinar os coeficientes recuperamos os termos originais após simplificar, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin(t) - \frac{1}{12}\sin(3t) - \frac{1}{20}\sin(5t) + C

Exercícios relacionados