Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{2}(2 t) \cos (t) d t.
\int \operatorname{sen}^{2}(2 t) \cos (t) d t.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (como intervalo ou valor inicial).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma
em expressão com cosseno para facilitar a integração. A identidade é
Explicando por que isso vale: partimos da fórmula do cosseno duplo
. Isolando
obtemos a identidade acima. Aqui cada símbolo significa:
é um ângulo qualquer,
significa
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
temos
Substituindo isso na integral original obtemos
Passo 4
Distribuindo o fator
e expandindo o produto:
Portanto precisamos integrar
e
.
Passo 5
Para integrar o termo com produto de cossenos usamos a fórmula produto-para-soma:
Aqui
e
, logo
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica: para constante
,
pois a derivada de
é
. Aplicando essa regra:
Passo 7
Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva da função original:
Podemos checar rapidamente derivando: derivada de
é
, e ao combinar os coeficientes recuperamos os termos originais após simplificar, confirmando que a primitiva está correta.