Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A função a integrar é
multiplicada por . - É uma integral indefinida; portanto devemos encontrar uma primitiva (mais uma constante de integração).
- Não há outras condições ou restrições fornecidas.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integral (sem resolver ainda): vemos um fator polinomial
multiplicando uma função composta
. Isso sugere que uma substituição que transforme a expressão interna
em uma nova variável pode simplificar a integral, porque a derivada dessa expressão é proporcional a
. Não vou resolver aqui, só explico por que essa ideia é natural.
Passo 3
Escolha da substituição e motivo: tome a substituição
Motivo: derivando
em relação a
obtemos algo proporcional a
, que é exatamente o outro fator na integral. Agora calcule
:
Isolando
temos:
Passo 4
Troca de variável na integral: substituímos
e
na integral original. A raiz vira
e
vira
. Assim:
Passo 5
Integração em
: aplicamos a regra usual para potências: para
com
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
: substituímos
de volta:
Passo 7
Verificação rápida (checando a derivada da primitiva): derivando
usando a regra da cadeia:
Simplificando os constantes:
, então
que coincide com o integrando. Logo a primitiva está correta.