Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int y^{3} \sqrt{2 y^{4}-1} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int y^{3} \sqrt{2 y^{4}-1}\,dy.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é y^{3} multiplicada por \sqrt{2y^{4}-1}.
  • É uma integral indefinida; portanto devemos encontrar uma primitiva (mais uma constante de integração).
  • Não há outras condições ou restrições fornecidas.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integral (sem resolver ainda): vemos um fator polinomial y^{3} multiplicando uma função composta \sqrt{2y^{4}-1}. Isso sugere que uma substituição que transforme a expressão interna 2y^{4}-1 em uma nova variável pode simplificar a integral, porque a derivada dessa expressão é proporcional a y^{3}. Não vou resolver aqui, só explico por que essa ideia é natural.

Passo 3

Escolha da substituição e motivo: tome a substituição
u = 2y^{4}-1.
Motivo: derivando u em relação a y obtemos algo proporcional a y^{3}, que é exatamente o outro fator na integral. Agora calcule du:
du = \frac{d}{dy}(2y^{4}-1)\,dy = 8y^{3}\,dy.
Isolando y^{3}\,dy temos:
y^{3}\,dy = \frac{1}{8}\,du.

Passo 4

Troca de variável na integral: substituímos u e y^{3}\,dy na integral original. A raiz vira \sqrt{u} e y^{3}\,dy vira \dfrac{1}{8}\,du. Assim:
\int y^{3}\sqrt{2y^{4}-1}\,dy = \int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{8}\,du = \frac{1}{8}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integração em u: aplicamos a regra usual para potências: para u^{n} com n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{8} obtemos
\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{12}u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltando à variável original y: substituímos u = 2y^{4}-1 de volta:
\frac{1}{12}u^{3/2} + C = \frac{1}{12}\bigl(2y^{4}-1\bigr)^{3/2} + C.

Passo 7

Verificação rápida (checando a derivada da primitiva): derivando
F(y)=\frac{1}{12}\bigl(2y^{4}-1\bigr)^{3/2}
usando a regra da cadeia:
F'(y)=\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{2}\bigl(2y^{4}-1\bigr)^{1/2}\cdot 8y^{3}.
Simplificando os constantes: \tfrac{1}{12}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 8 = 1, então
F'(y)=y^{3}\sqrt{2y^{4}-1},
que coincide com o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{12}\bigl(2y^{4}-1\bigr)^{3/2}+C

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