Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{(\ln (x))^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, a integral que queremos é
\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A integranda é \dfrac{(\ln(x))^{2}}{x}.
  • A variável de integração é x.
  • Como apareceu \ln(x), implicitamente estamos considerando x>0 (pois \ln(x) não está definido em x\le 0).
  • O problema é pedir uma antiderivada (primitiva) da função, ou seja, encontrar F(x) tal que F'(x)=\dfrac{(\ln(x))^{2}}{x}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática simples): substituição (troca de variável).
Por que essa escolha? Porque vemos \ln(x) elevado a uma potência e temos um fator \dfrac{1}{x}\,dx. Sabendo que a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}, a combinação sugere usar a substituição
u=\ln(x).
Regra de substituição (lembrete didático): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui g'(x)\,dx aparece natural como du. Isso é o “contrário” da regra da cadeia (a substituição reverte a derivação).

Passo 3

Aplicando a substituição u=\ln(x):
Calcule du. Como u=\ln(x), temos
du=\frac{1}{x}\,dx.
Reescrevendo a integral em u:
\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = \int u^{2}\,du,
porque (\ln(x))^{2} vira u^{2} e \dfrac{1}{x}\,dx vira du.

Passo 4

Integre \int u^{2}\,du usando a regra do poder para integrais.
Regra do poder (explicação): para qualquer número n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, então
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Expliquei o que significa cada símbolo: u é a nova variável (igual a \ln(x)), C é a constante de integração.

Passo 5

Volte à variável original substituindo u=\ln(x):
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{(\ln(x))^{3}}{3} + C.
Portanto uma primitiva da função é \dfrac{(\ln(x))^{3}}{3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação para checar): derive \dfrac{(\ln(x))^{3}}{3} e veja se recupera a integranda.
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{(\ln(x))^{3}}{3}\right) = \frac{1}{3}\cdot 3(\ln(x))^{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{(\ln(x))^{2}}{x},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln(x))^{3}}{3}+C

Exercícios relacionados