Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, a integral que queremos é
Informações importantes que o enunciado dá:
- A integranda é
. - A variável de integração é
. - Como apareceu
, implicitamente estamos considerando (pois não está definido em ). - O problema é pedir uma antiderivada (primitiva) da função, ou seja, encontrar
tal que .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática simples): substituição (troca de variável).
Por que essa escolha? Porque vemos elevado a uma potência e temos um fator
. Sabendo que a derivada de
é
, a combinação sugere usar a substituição
Por que essa escolha? Porque vemos
Regra de substituição (lembrete didático): se
e
, então
Aqui
aparece natural como
. Isso é o “contrário” da regra da cadeia (a substituição reverte a derivação).
Passo 3
Aplicando a substituição
:
Calcule . Como
, temos
Calcule
Reescrevendo a integral em
:
porque
vira
e
vira
.
Passo 4
Integre
usando a regra do poder para integrais.
Regra do poder (explicação): para qualquer número ,
Regra do poder (explicação): para qualquer número
Aqui
, então
Expliquei o que significa cada símbolo:
é a nova variável (igual a
),
é a constante de integração.
Passo 5
Volte à variável original substituindo
:
Portanto uma primitiva da função é
.
Passo 6
Verificação rápida (derivação para checar): derive
e veja se recupera a integranda.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.