Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral raiz[3]8(t-20)^6(t+12)^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e utilizar propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do radical cúbico. Temos . Sabemos que , então podemos separar os fatores.

Passo 3

Calculando a raiz cúbica de cada parte:
raiz[3]8 = 2
raiz[3](t-20)^6 = (t-20)^6/3 = (t-20)^2
raiz[3](t+12)^3 = t+12
Portanto, a expressão simplificada fica:
2(t-20)^2(t+12)

Passo 4

Agora, vamos expandir o produto (t-20)^2 = t^2 - 40t + 400 :
(t^2 - 40t + 400)(t+12) = t^3 - 39.5t^2 + 380t + 200
Multiplicando por 2(t^3 - 39.5t^2 + 380t + 200) :
Então, a expressão completa fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2(t^3 - 39.5t^2 + 380t + 200) , dt = 2(t^44 - 39.5t^33 + 380t^22 + 200t) + C
Simplificando:
t^42 - 79t^33 + 380t^2 + 400t + C

Resposta

A integral calculada é:
t^42 - 79t^33 + 380t^2 + 400t + C

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