Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1raiz[4]x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 1raiz[4]x^3 , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais de potências de x. Para resolver, vamos precisar usar a regra básica de integração para funções do tipo x^n.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quarta de x^3 pode ser escrita como (x^3)^1/4, o que simplifica para x^3/4. Então, o denominador da fração fica x^3/4. Assim, a integral fica:
integral 1x^3/4 , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos reescrever a fração como uma potência negativa. Sabemos que 1x^a = x^-a. Aplicando isso:
1x^3/4 = x^-3/4
Portanto, a integral fica:
integral x^-3/4 , dx

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de integração para potências de x, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração, e n neq -1. No nosso caso, n = -34.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral x^-3/4 , dx = x^-3/4 + 1-3/4 + 1 + C = x^1/41/4 + C
Dividindo por 1/4 é o mesmo que multiplicar por 4:
x^1/41/4 = 4x^1/4

Resposta

A integral indefinida é:
4x^1/4 + C

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