Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x^2(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de . Isso está relacionado ao cálculo de integrais usando técnicas de cálculo, especificamente a integração por partes. Vamos precisar escolher partes da função para aplicar essa técnica e resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u = (ln x)^2 e dv = x^2 , dx e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada e como a parte que é fácil de integrar.
No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx para encontrar v = integral x^2 , dx = x^33 e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 (ln x)^2 , dx = uv - integral v , du
Substituindo = x^33 (ln x)^2 - integral x^33 cdot 2 ln xx , dx , = x^33 (ln x)^2 - 23 integral x^2 ln x , dx e :
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = ln x e dv = x^2 , dx usando novamente a integração por partes. Novamente, escolhemos:
du = 1x , dx
Derivando e integrando:
v = x^33

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x^2 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x^33 ln x - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando:
= x^33 ln x - 13 integral x^2 , dx
Integrando = x^33 ln x - 13 cdot x^33 + C = x^33 ln x - x^39 + C :

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 (ln x)^2 , dx = x^33 (ln x)^2 - 23 ( x^33 ln x - x^39 ) + C
Distribuindo o = x^33 (ln x)^2 - 2x^39 ln x + 2x^327 + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2 (ln x)^2 , dx = x^33 (ln x)^2 - 2x^39 ln x + 2x^327 + C
onde é a constante de integração.

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