Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{\ln (x+1)-\ln x}{x(x+1)} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{\ln(x+1)-\ln x}{x(x+1)}\,dx
pelo método de substituição de variável. Observe que o numerador é justamente a diferença de dois logaritmos, cuja derivada envolve x(x+1), o que sugere usar essa diferença como nova variável.

Passo 2

Definimos
u = \ln(x+1) - \ln x.
Assim coletamos o numerador da integral.

Passo 3

Calculamos a diferencial de u:
du = \Bigl(\tfrac{1}{x+1} - \tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx = -\frac{1}{x(x+1)}\,dx.
Dessa forma
\frac{dx}{x(x+1)} = -\,du.
Substituindo na integral original, o integrando fica
u \cdot \frac{dx}{x(x+1)} = -\,u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int -u\,du = -\frac{u^2}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = \ln(x+1)-\ln x:
-\frac{1}{2}\bigl(\ln(x+1)-\ln x\bigr)^2 + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\bigl(\ln(x+1)-\ln x\bigr)^2 + C.

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