Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{3 x^{2}+2 x+1}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{3x^{2}+2x+1}}\;dx
usando o método de substituição de variável. Vamos transformar a integral numa forma mais simples, escolhendo uma substituição que absorva o x^{-2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \frac{1}{x}, \quad \text{logo} \quad x = \frac{1}{t}, \quad dx = -\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Reescrevendo cada parte em função de t:
\frac{1}{x^{2}} = t^{2}, \quad 3x^{2}+2x+1 = 3\frac{1}{t^{2}}+2\frac{1}{t}+1 = \frac{t^{2}+2t+3}{t^{2}},
\sqrt{3x^{2}+2x+1} = \frac{\sqrt{t^{2}+2t+3}}{|t|}.
Como a constante de integração absorve o sinal de t, podemos tomar t>0 e usar \sqrt{3x^{2}+2x+1}= \sqrt{t^{2}+2t+3}/t.

Passo 3

A integral original fica
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{3x^{2}+2x+1}}\;dx = \int t^{2}\,\frac{t}{\sqrt{t^{2}+2t+3}}\;\Bigl(-\frac{1}{t^{2}}\Bigr)\,dt = -\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+2t+3}}\,dt.

Passo 4

Para integrar
-\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+2t+3}}\,dt,
escrevemos t=(t+1)-1, de modo que o integrando se separa em
-\int \frac{(t+1)-1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt = -\int \frac{t+1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt + \int \frac{1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt.

Passo 5

  1. Para \displaystyle \int \frac{t+1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt,
    faça u=(t+1)^{2}+2, du=2(t+1)\,dt. Então
\int \frac{t+1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt =\frac12\int u^{-1/2}\,du =\sqrt{u} =\sqrt{(t+1)^{2}+2}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt,
    use a primitiva padrão
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}} =\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr| + C.
Com u=t+1 e a=\sqrt{2}, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{(t+1)^{2}+2}}\,dt =\ln\bigl|t+1 + \sqrt{(t+1)^{2}+2}\bigr| + C.

Passo 6

Somando as duas parcelas (e lembrando do sinal menos na primeira), a integral em t vale
-\sqrt{(t+1)^{2}+2} \;+\; \ln\bigl|t+1 + \sqrt{(t+1)^{2}+2}\bigr| \;+\;C.

Passo 7

Volta à variável x usando t=1/x. Temos
t+1 = \frac{1}{x}+1=\frac{1+x}{x}, \quad (t+1)^{2}+2 = \frac{3x^{2}+2x+1}{x^{2}}, \quad \sqrt{(t+1)^{2}+2}=\frac{\sqrt{3x^{2}+2x+1}}{x}.
Substituindo:
-\sqrt{(t+1)^{2}+2} = -\frac{\sqrt{3x^{2}+2x+1}}{x},
\ln\bigl|t+1 + \sqrt{(t+1)^{2}+2}\bigr| = \ln\Bigl|\frac{1+x}{x} + \frac{\sqrt{3x^{2}+2x+1}}{x}\Bigr| = \ln\Bigl|\frac{1+x + \sqrt{3x^{2}+2x+1}}{x}\Bigr|.
O termo -\ln|x| que surge pode ser absorvido na constante.

Resposta

-\frac{\sqrt{3x^{2}+2x+1}}{x} \;+\; \ln\bigl|\,1+x + \sqrt{3x^{2}+2x+1}\bigr| \;+\;C.

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