Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx
usando o método da substituição de variável. Vamos precisar reconhecer uma parte da integranda que, ao ser substituída, simplifique o radical \sqrt{x^{2}-1} e transforme tudo numa integral elementar em u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \sqrt{x^{2}-1}.
Então temos
u^{2} = x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = u^{2}+1.

Passo 3

Diferenciando u^{2}=x^{2}-1 em relação a x, obtemos
2u\,du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = u\,du \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{u}{x}\,du.

Passo 4

Reescrevemos a integranda em termos de u. Note que \sqrt{x^{2}-1}=u e dx=\frac{u}{x}\,du, assim
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx = \frac{u}{x}\,\frac{u}{x}\,du = \frac{u^{2}}{x^{2}}\,du.
Mas x^{2}=u^{2}+1, logo
\frac{u^{2}}{x^{2}} = \frac{u^{2}}{u^{2}+1} = 1 - \frac{1}{u^{2}+1}.

Passo 5

A integral torna-se
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx = \int\Bigl(1 - \frac{1}{u^{2}+1}\Bigr)\,du = \int 1\,du \;-\;\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = u - \arctan(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável x, basta usar u=\sqrt{x^{2}-1}. Assim o resultado final é
\sqrt{x^{2}-1}\;-\;\arctan\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\;+\;C.

Resposta

\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx = \sqrt{x^{2}-1} - \arctan\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr) + C.

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