Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^{3}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^{3}}}\,dx
usando o método da substituição de variável. Aqui vamos reescrever tudo em potências e escolher uma substituição que simplifique o radical de quarta raiz.

Passo 2

Reescrevendo em potências, temos
\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^{3}}} =\frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}}.
Como aparece x^{1/4} de forma natural, deixamos
u = x^{1/4}.
Então
x = u^4, \quad dx = 4u^3\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, calcula-se
\sqrt{x} = x^{1/2} = (u^4)^{1/2} = u^2, \quad \sqrt[4]{x^3} = (u^4)^{3/4} = u^3,
logo
\int \frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}}\,dx = \int \frac{u^2}{1+u^3}\cdot 4u^3\,du = \int \frac{4u^5}{1+u^3}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{4u^5}{1+u^3}\,du, fazemos divisão de polinômio:
\frac{u^5}{u^3+1} = \frac{u^2(u^3+1)-u^2}{u^3+1} = u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}.
Então
\int \frac{4u^5}{1+u^3}\,du = 4\int \Bigl(u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}\Bigr)\,du = 4\int u^2\,du \;-\; 4\int \frac{u^2}{u^3+1}\,du.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. \displaystyle 4\int u^2\,du = \frac{4}{3}u^3.
  2. Para \displaystyle 4\int \frac{u^2}{u^3+1}\,du, use v = u^3+1, dv = 3u^2\,du, de modo que u^2\,du = \tfrac{dv}{3}.
    Assim
4\int \frac{u^2}{u^3+1}\,du = 4\int \frac{1}{v}\,\frac{dv}{3} = \frac{4}{3}\int \frac{dv}{v} = \frac{4}{3}\ln\bigl|v\bigr| = \frac{4}{3}\ln\bigl(u^3+1\bigr).

Passo 6

Somando as duas parcelas e voltando a x (ou seja u = x^{1/4}), obtemos
\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^3}}\,dx = \frac{4}{3}u^3 - \frac{4}{3}\ln\bigl(u^3+1\bigr) + C = \frac{4}{3}x^{3/4} - \frac{4}{3}\ln\bigl(x^{3/4}+1\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^3}}\,dx = \frac{4}{3}x^{3/4} - \frac{4}{3}\ln\bigl(x^{3/4}+1\bigr) + C.}

Exercícios relacionados