Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
23.
\int \frac{\operatorname{arccos} ^{2} x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}. Resposta. -\frac{\operatorname{arccos} ^{3} x}{3}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{arccos}^{2}x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolve reconhecer a derivada de \operatorname{arccos} x e usar mudança de variável.

Passo 2

Note que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos} x\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Fazendo a substituição
u = \operatorname{arccos} x, \quad du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}},
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\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = -\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{\operatorname{arccos}^{2}x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int u^{2}\,\bigl(-du\bigr) = -\int u^{2}\,du.
Agora aplicamos a fórmula de potência:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
-\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)^{3}}{3} + C.

Resposta

-\frac{(\operatorname{arccos} x)^{3}}{3} + C.

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