Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
22.
\int \frac{\operatorname{arcsen} x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}. Resposta. \frac{\operatorname{arcsen}^{2} x}{2}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é reconhecimento de uma derivada conhecida no denominador e aplicação de mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{arcsen}(x),
cuja derivada é
du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 3

Com essa mudança, o integrando fica
\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = u\,du.
Logo
\int \frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \int u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, como u = \operatorname{arcsen}(x), obtemos
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}}{2} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{arcsen}^{2}(x)}{2} + C

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