Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
26.
\int \frac{\cos x}{2 \operatorname{sen} x+3} d x. Resposta. \frac{1}{2} \ln (2 \operatorname{sen} x+3)+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x}{2\,\operatorname{sen}x+3}\,dx
Trata-se de uma integral de função racional em \operatorname{sen}x e \cos x. Como a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x, vamos usar a técnica de substituição u-substituição. Também poderemos usar a fórmula básica da tabela 15.1:
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2\,\operatorname{sen}x + 3.
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{du}{dx} = 2\,\cos x \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\cos x}{2\,\operatorname{sen}x+3}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac{1}{2}\,du\Bigr) = \frac{1}{2}\,\int \frac{du}{u}.
Pela fórmula básica da tabela de integrais,
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{2}\,\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u = 2\,\operatorname{sen}x + 3, a primitiva fica
\frac{1}{2}\,\ln\bigl|2\,\operatorname{sen}x + 3\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\cos x}{2\,\operatorname{sen}x+3}\,dx = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|2\,\operatorname{sen}x + 3\bigr| + C.

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