Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
31.
\int \frac{\operatorname{tg}^{3} x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x. Resposta. \frac{\operatorname{tg}^{4} x}{4}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\tan^{3}x}{\cos^{2}x}\,dx
O conteúdo envolvido é mudança de variável em integrais e uso da forma básica
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Repare que
\frac{1}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec}^{2}x,
então a integral fica
\int \tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Fazemos a substituição
u = \tan x \quad\Longrightarrow\quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Com isso
\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = u^{3}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = \tan x, logo
\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\tan^{4}x}{4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{4}x}{4} + C

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