Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
30.
\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x(3 \operatorname{tg} x+1)}. Resposta. \frac{1}{3} \ln |3 \operatorname{tg} x+1|+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\cos^2 x\,\bigl(3\tan x+1\bigr)}.
O conteúdo principal é reconhecer que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x = 1/\cos^2 x, o que sugere usar mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável definindo
u = 3\tan x + 1.
Diferenciando,
du = 3\operatorname{sec}^2 x\,dx = \frac{3}{\cos^2 x}\,dx,
logo
\frac{dx}{\cos^2 x} = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int \frac{dx}{\cos^2 x\,\bigl(3\tan x+1\bigr)} = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u}.
Como \int du/u = \ln|u| + C, concluímos a integração.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\bigl|3\tan x+1\bigr| + C.

Exercícios relacionados