Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
36.
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-3 x^{2}}}. Resposta. \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arcsen}(\sqrt{3} x)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-3x^{2}}},
que envolve uma função da forma \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} e pode ser resolvida por mudança de variável, usando a primitiva padrão da função arco-seno.

Passo 2

Reescrevemos o radicando para identificar a forma 1-u^{2}. Note que
1-3x^{2} = 1 - (\sqrt{3}\,x)^{2}.
Fazemos a substituição
u = \sqrt{3}\,x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u = \sqrt{3}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-3x^{2}}}, obtemos
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-u^{2}}} = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Da tabela de integrais (ou da primitiva conhecida),
\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}} = \operatorname{arcsen}(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x,
\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arcsen}(u) + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arcsen}(\sqrt{3}\,x) + C.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arcsen}(\sqrt{3}\,x) + C.

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