Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
37.
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{16-9 x^{2}}}. Resposta. \frac{1}{3} \operatorname{arcsen} \frac{3 x}{4}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{16-9x^{2}}}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer a forma padrão
\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u)+C
(tabela 15.1, item correspondente) e, se necessário, usar mudança de variáveis para encaixar nessa forma.

Passo 2

Para chegar à forma padrão, fatoramos a expressão dentro da raiz:
16 - 9x^{2} = 16\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{3x}{4}\bigr)^{2}\Bigr),
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\sqrt{16-9x^{2}} = 4\,\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3x}{4}\bigr)^{2}}.
Fazemos a substituição
u = \frac{3x}{4},
então
\mathrm{d}u = \frac{3}{4}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \frac{4}{3}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{16-9x^{2}}} obtemos
\int \frac{\frac{4}{3}\,\mathrm{d}u}{4\,\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{1}{3}\,\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Agora usamos o resultado da tabela 15.1:
\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
\frac{1}{3}\,\arcsin(u) + C = \frac{1}{3}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{3x}{4}\Bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{3}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{3x}{4}\Bigr) + C.

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