Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
44.
. Resposta.
.
44.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando mudança de variável e, se necessário, uma tabela de integrais. O conteúdo principal aqui é reconhecer a forma de uma integral do tipo
que resulta em uma função arco-tangente.
Passo 2
Fazemos a substituição natural para aproveitar o numerador
. Definimos
então
Com isso, a integral em
passa a ser uma integral em
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de
, temos
Esse é exatamente o formato padrão da integral de arctangente.
Passo 4
Sabemos pela tabela ou pela fórmula básica que
Aplicando com
, obtemos
Passo 5
Voltando à variável original
, como
, a resposta final é