Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
44.
\int \frac{\cos x d x}{a^{2}+\operatorname{sen}^{2} x}. Resposta. \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{a}\right)+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos x\,dx}{a^{2} + \sin^{2}x}
usando mudança de variável e, se necessário, uma tabela de integrais. O conteúdo principal aqui é reconhecer a forma de uma integral do tipo
\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}}
que resulta em uma função arco-tangente.

Passo 2

Fazemos a substituição natural para aproveitar o numerador \cos x\,dx. Definimos
t = \operatorname{sen} x,
então
dt = \cos x\,dx.
Com isso, a integral em x passa a ser uma integral em t.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de t, temos
\int \frac{\cos x\,dx}{a^{2} + \operatorname{sen}^{2}x} = \int \frac{dt}{a^{2} + t^{2}}.
Esse é exatamente o formato padrão da integral de arctangente.

Passo 4

Sabemos pela tabela ou pela fórmula básica que
\int \frac{du}{a^{2} + u^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.
Aplicando com u = t, obtemos
\int \frac{dt}{a^{2} + t^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, como t = \operatorname{sen} x, a resposta final é
\frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{a}\Bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{a}\Bigr) + C

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