Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
45.
\int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-\ln ^{2} x}}. Resposta. \operatorname{arcsen}(\ln x)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}.
Este é um caso clássico de substituição, pois a derivada de \ln x é 1/x e na forma resultante haverá a integral padrão
\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\mathrm{arcsen}(u)+C.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variável
u = \ln x,
Logo,
\mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}x}{x} = \mathrm{d}u.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}} obtemos
\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}} =\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

Pela tabela de integrais (ou pela forma padrão) reconhecemos
\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}} =\mathrm{arcsen}(u)+C.

Passo 5

Voltando à variável original x, com u=\ln x, concluímos que
\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}} =\mathrm{arcsen}(\ln x)+C.

Resposta

\mathrm{arcsen}(\ln x)+C

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