Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
46.
\int \frac{\operatorname{arccos} x-x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{dx}. Resposta. -\frac{1}{2}(\operatorname{arccos} x)^{2}+\sqrt{1-x^{2}}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\operatorname{arccos} x - x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx
Usaremos técnicas de integração por substituição e propriedades conhecidas de derivadas de funções elementares, especialmente a derivada de \operatorname{arccos} x e de \sqrt{1 - x^2}.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes:
\int \frac{\operatorname{arccos} x - x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx \;-\; \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Para
\displaystyle \int \frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx,
faça a substituição
u = \operatorname{arccos} x, \quad du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = -du.
Logo,
\int \frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \int u\,(-du) = -\frac{u^{2}}{2} = -\frac{(\operatorname{arccos} x)^{2}}{2}.

Passo 4

Para
\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx,
observe que
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1 - x^{2}}\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^{2}}}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}},
portanto
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1 - x^{2}}.

Passo 5

Somando os resultados:
\int \frac{\operatorname{arccos} x - x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \Bigl(-\tfrac{(\operatorname{arccos} x)^{2}}{2}\Bigr) \;-\; \Bigl(-\sqrt{1 - x^{2}}\Bigr) + C = -\frac{1}{2}(\operatorname{arccos} x)^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}(\operatorname{arccos} x)^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} + C

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