Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
47.
\int \frac{x-\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x. Resposta. \frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{2}(\operatorname{arctg} x)^{2}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x - \arctan x}{1 + x^{2}}\,dx.
O tema aqui envolve dividir a integral em parcelas mais simples e usar mudança de variável para tratar o termo com \arctan x.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
\int \frac{x}{1 + x^{2}}\,dx \;-\;\int \frac{\arctan x}{1 + x^{2}}\,dx.
Assim tratamos cada parte de forma independente.

Passo 3

Para a primeira parte, note que a derivada de 1 + x^{2} é 2x. Logo, podemos usar a fórmula da forma
\displaystyle \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u|.
Aqui u = 1 + x^{2} e u' = 2x, então
\int \frac{x}{1 + x^{2}}\,dx = \frac12 \int \frac{2x}{1 + x^{2}}\,dx = \frac12 \ln\bigl(1 + x^{2}\bigr).

Passo 4

Para a segunda parte, fazemos a substituição
t = \arctan x \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{1}{1 + x^{2}}\,dx.
Assim
\int \frac{\arctan x}{1 + x^{2}}\,dx = \int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} = \frac{(\arctan x)^{2}}{2}.

Passo 5

Juntando as duas partes e lembrando do sinal menos na segunda, obtemos
\int \frac{x - \arctan x}{1 + x^{2}}\,dx = \frac12 \ln\bigl(1 + x^{2}\bigr) - \frac12 (\arctan x)^{2} + C.

Resposta

\frac12 \ln\bigl(1 + x^{2}\bigr) - \frac12 \bigl(\arctan x\bigr)^{2} + C.

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