Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(t) d t, em que F(t)=\left(3 \sin ^{2} t \cos t, 3 \sin t \cos ^{2} t, 2 \sin t \cos t\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial
F(t)=\bigl(3\sin^2 t\cos t,\;3\sin t\cos^2 t,\;2\sin t\cos t\bigr)
no intervalo t\in[0,\pi/2]. Como é um campo vetorial em \mathbb{R}^3, basta integrar cada componente separadamente usando técnicas de substituição e a regra de potência.

Passo 2

Integramos a primeira componente
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\sin^2 t\cos t\,dt =3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\cos t\,dt.
Fazendo u=\sin t, vem du=\cos t\,dt e, nos limites, u(0)=0, u(\pi/2)=1. Logo
3\int_{0}^{1}u^2\,du =3\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} =1.

Passo 3

Agora a segunda componente
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\sin t\cos^2 t\,dt =3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos^2 t\,dt.
Fazendo v=\cos t, temos dv=-\sin t\,dt e os limites v(0)=1, v(\pi/2)=0. Assim
3\int_{1}^{0}(-v^2)\,dv =3\int_{0}^{1}v^2\,dv =3\left[\frac{v^3}{3}\right]_{0}^{1} =1.

Passo 4

Por fim, a terceira componente
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin t\cos t\,dt =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t\,dt.
Usando w=\sin t, dw=\cos t\,dt e w(0)=0, w(\pi/2)=1, obtemos
2\int_{0}^{1}w\,dw =2\left[\frac{w^2}{2}\right]_{0}^{1} =1.

Passo 5

Reunindo as três componentes, a integral vetorial é
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}F(t)\,dt =\bigl(1,\;1,\;1\bigr).

Resposta

\bigl(1,1,1\bigr)

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