Determine o comprimento de arco da curva de equações paramétricas
\left\{\begin{array}{l} x=t-t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 1 \\\ y=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\begin{cases} x = t - t^{2},\\\ y = 0, \end{cases} \quad 0 \le t \le 1,
e pede o comprimento de arco entre t=0 e t=1. O conteúdo é comprimento de arco de curva dada em forma paramétrica, para o qual usamos a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
x'(t) = \frac{d}{dt}(t - t^{2}) = 1 - 2t,
y'(t) = \frac{d}{dt}(0) = 0.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{1} \sqrt{(1 - 2t)^{2} + 0^{2}}\;dt = \int_{0}^{1} \bigl|1 - 2t\bigr|\;dt.

Passo 4

A função 1 - 2t muda de sinal em t=\tfrac12. Logo, dividimos a integral em dois trechos:
L = \int_{0}^{\frac12} (1 - 2t)\;dt + \int_{\frac12}^{1} (2t - 1)\;dt.

Passo 5

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{\frac12}(1 - 2t)\;dt = \Bigl[t - t^{2}\Bigr]_{0}^{\frac12} = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac14\Bigr) - 0 = \tfrac14,
\int_{\frac12}^{1}(2t - 1)\;dt = \Bigl[t^{2} - t\Bigr]_{\frac12}^{1} = \bigl(1 - 1\bigr) - \bigl(\tfrac14 - \tfrac12\bigr) = 0 - (-\tfrac14) = \tfrac14.
Somando,
L = \tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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