Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{8 x-5}{(2 x-1)(x-1)} d x
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx
Este é um caso de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos
\frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x-1), obtemos
8x-5 = A(x-1) + B(2x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(x-1) + B(2x-1) = Ax - A + 2Bx - B = (A+2B)x + (-A - B).
Igualando coeficientes em 8x-5\), temos o sistema \[\begin{cases} A + 2B = 8,\\\\ -A - B = -5. \end{cases}
Da segunda equação vem A + B = 5\]. Subtraindo de \(A + 2B = 8 B=3 e, então, A=2.

Passo 4

Substituindo A=2 e B=3 na integral, fica
\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx = \int \frac{2}{2x-1}\,dx + \int \frac{3}{x-1}\,dx.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int \frac{2}{2x-1}\,dx:
faça u=2x-1, du=2\,dx, então
\int \frac{2}{2x-1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert = \ln\lvert2x-1\rvert.
E
\int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\int \frac{1}{x-1}\,dx = 3\ln\lvert x-1\rvert.

Resposta

\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx = \ln\bigl|2x-1\bigr| + 3\ln\bigl|x-1\bigr| + C.

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