Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{1-2 x}{x^{2}+3 x+2} d x
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1 - 2x}{x^{2} + 3x + 2}\,dx
Isso é um exemplo de integração de funções racionais, onde o denominador é um polinômio de grau 2 e o numerador de grau 1. Vamos usar decomposição em frações parciais, que consiste em escrever \displaystyle \frac{1 - 2x}{x^{2} + 3x + 2}
como soma de termos mais simples cujo antiderivado é logarítmico.

Passo 2

Fatoramos o denominador quadrático para encontrar as raízes:
x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).

Passo 3

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1 - 2x}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2), obtemos
1 - 2x = A(x + 2) + B(x + 1).

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em x\): \[A(x + 2) + B(x + 1) = (A + B)\,x + (2A + B).
Comparando com 1 - 2x = -2x + 1, temos o sistema
\begin{cases} A + B = -2,\\\\ 2A + B = 1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda dá A = 3\]. Logo \(B = -2 - A = -5.

Passo 5

Substituindo A e B na integral:
\int \frac{1 - 2x}{x^{2} + 3x + 2}\,dx = \int \Bigl(\frac{3}{x + 1} - \frac{5}{x + 2}\Bigr)\,dx = 3\int \frac{dx}{x + 1} - 5\int \frac{dx}{x + 2}.
Cada termo é um logaritmo:
3\int \frac{dx}{x + 1} = 3\ln\lvert x + 1\rvert, \quad -5\int \frac{dx}{x + 2} = -5\ln\lvert x + 2\rvert.

Resposta

3\ln\lvert x + 1\rvert \;-\; 5\ln\lvert x + 2\rvert \;+\; C

Exercícios relacionados