Calcule as seguintes integrais
a) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j \omega t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função delta de Dirac multiplicada por e^{-j\omega t} em todo o eixo real, ou seja
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,e^{-j\omega t}\,d t.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de amostragem (sifting property) da distribuição \delta(t) – algo que aparece quando estudamos transformada de Fourier e sinais generalizados.

Passo 2

A propriedade de amostragem diz que, para qualquer função suficientemente bem-comportada f(t), vale
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - t_0)\,f(t)\,d t \;=\; f(t_0).
No nosso caso, o pico da delta está em t_0=0, e f(t)=e^{-j\omega t}.

Passo 3

Aplicando diretamente a propriedade com t_0=0 e f(t)=e^{-j\omega t}, temos
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,e^{-j\omega t}\,d t = e^{-j\omega\cdot 0} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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