Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
a) u(t)

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função degrau unitário u(t) em suas partes par e ímpar. O conteúdo que vamos usar é a fórmula geral de decomposição de qualquer sinal x(t):
x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}, \qquad x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}.

Passo 2

Precisamos primeiro saber como é u(-t)\). Como \(u(t)\) vale \(1\) para \(t>0\) e \(0\) para \(t<0\), invertendo o tempo obtemos \[u(-t) = \begin{cases} 1, & t<0,\\\\ 0, & t>0, \end{cases}
e em t=0\] podemos tomar o valor convencional \(u(0)=\tfrac12 ou escolher 0 ou 1, mas isso afeta apenas um ponto isolado.

Passo 3

Aplicando a fórmula da parte par:
u_e(t) = \frac{u(t) + u(-t)}{2}.
Para t>0 temos u(t)=1 e u(-t)=0, somando dá 1, logo u_e(t)=\tfrac12.
Para t<0 temos u(t)=0 e u(-t)=1, somando dá 1, logo u_e(t)=\tfrac12.
Portanto, para todo t\neq0,
u_e(t) = \frac12.
O esboço de u_e(t) é simplesmente uma reta horizontal em y=\tfrac12.

Passo 4

Agora a parte ímpar:
u_o(t) = \frac{u(t) - u(-t)}{2}.
Para t>0\) obtemos \(\bigl(1-0\bigr)/2=\tfrac12\). Para \(t<0\) obtemos \(\bigl(0-1\bigr)/2=-\tfrac12\). Assim, para \(t\neq0\), \[u_o(t) = \frac12\,\sgn(t) = \begin{cases} +\tfrac12, & t>0,\\\\ -\tfrac12, & t<0. \end{cases}
O esboço de u_o(t)\] é um degrau em \(+\tfrac12 para t>0 e em -\tfrac12 para t<0.

Resposta

u_e(t)=\dfrac12, reta horizontal em y=\tfrac12. u_o(t)=\dfrac12\,\sgn(t), valendo +\tfrac12 para t>0 e -\tfrac12 para t<0.

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