(1) Calcule as seguintes integrais:
(a) \int_{0}^{4}|x-3| d x
(b) \int_{-2}^{2}(|x|+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas que envolvem valor absoluto. O conteúdo essencial aqui é entender como escrever a função valor absoluto de forma piecewise e depois aplicar as regras de integração.

Passo 2

Para \displaystyle \int_{0}^{4}|x-3|\,dx note que x-3 muda de sinal em x=3. Logo,
|x-3|= \begin{cases} 3 - x, &0 \le x \le 3,\\\ x - 3, &3 \le x \le 4. \end{cases}
Então dividimos a integral:
\int_{0}^{4}|x-3|\,dx =\int_{0}^{3}(3-x)\,dx+\int_{3}^{4}(x-3)\,dx.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{3}(3-x)\,dx =\Bigl[3x-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(9-\tfrac{9}{2}\bigr)-0 =\tfrac{9}{2},
\int_{3}^{4}(x-3)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-3x\Bigr]_{3}^{4} =\bigl(8-12\bigr)-\bigl(\tfrac{9}{2}-9\bigr) =-4 -\bigl(-\tfrac{9}{2}+9\bigr) =-4 +\tfrac{9}{2}-9 =\tfrac{1}{2}.
Somando as duas partes,
\int_{0}^{4}|x-3|\,dx =\tfrac{9}{2}+\tfrac{1}{2} =5.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{-2}^{2}(\lvert x\rvert+1)\,dx usamos a simetria de \lvert x\rvert. Primeiro
\int_{-2}^{2}\lvert x\rvert\,dx =2\int_{0}^{2}x\,dx =2\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =2\cdot2 =4.
E
\int_{-2}^{2}1\,dx =\bigl[x\bigr]_{-2}^{2} =2-(-2) =4.
Portanto,
\int_{-2}^{2}(\lvert x\rvert+1)\,dx =4+4 =8.

Resposta

(a) 5
(b) 8

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