O que está errado no seguinte cálculo? Justifique!
\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x=\left.\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)\right|_{-1} ^{2}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de uma função que apresenta singularidade em x=0, ou seja, não está definida (nem contínua) em todo o intervalo [-1,2]. Antes de aplicar a fórmula da primitiva, precisamos verificar se o integral é propriamente definido ou se é um integral impróprio.

Passo 2

Como f(x)=1/x^{2} não está definida em x=0, devemos escrever
\int_{-1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}\,dx + \int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx,
cada parte sendo um integral impróprio definido como limite. Se qualquer um desses limites divergir, todo o integral diverge.

Passo 3

Calculemos, por exemplo,
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{t\to0^{+}} \int_{t}^{2}x^{-2}\,dx = \lim_{t\to0^{+}} \Bigl[-x^{-1}\Bigr]_{t}^{2} = \lim_{t\to0^{+}}\bigl(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{t}\bigr).
Como \tfrac{1}{t}\to+\infty quando t\to0^{+}, este limite é +\infty. Portanto esta parte do integral já diverge.

Passo 4

Como
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx=+\infty,
o integral original não converge. Não faz sentido aplicar diretamente a fórmula da primitiva em todo [-1,2] sem verificar a descontinuidade em x=0.

Resposta

O erro foi usar a regra da primitiva \int x^{-2}dx=-x^{-1} sem notar que 1/x^{2} tem singularidade em x=0. O integral é impróprio e diverge; não vale -\tfrac{3}{2}.

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