O que está errado no seguinte cálculo? Justifique!
\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x=\left.\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)\right|_{-1} ^{2}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de uma função que apresenta singularidade em x=0, ou seja, não está definida (nem contínua) em todo o intervalo [-1,2]. Antes de aplicar a fórmula da primitiva, precisamos verificar se o integral é propriamente definido ou se é um integral impróprio.
Passo 2
Como f(x)=1/x^{2} não está definida em x=0, devemos escrever
Como \tfrac{1}{t}\to+\infty quando t\to0^{+}, este limite é +\infty. Portanto esta parte do integral já diverge.
Passo 4
Como
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx=+\infty,
o integral original não converge. Não faz sentido aplicar diretamente a fórmula da primitiva em todo [-1,2] sem verificar a descontinuidade em x=0.
Resposta
O erro foi usar a regra da primitiva \int x^{-2}dx=-x^{-1} sem notar que 1/x^{2} tem singularidade em x=0. O integral é impróprio e diverge; não vale -\tfrac{3}{2}.