Calcule as seguintes integrais:
\int x \cdot \ln (5 x) d x=

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int x \ln(5x)\,dx.
O conteúdo principal é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(5x), \quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(5x)\bigr]\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
e
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes temos
\int x \ln(5x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln(5x)\;-\;\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x}\,dx.
Isto é,
\int x \ln(5x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(5x) - \tfrac12\int x\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral restante:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Logo,
\int x \ln(5x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(5x) - \frac12\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln(5x) - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\int x \ln(5x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(5x) - \frac{x^2}{4} + C.

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