Calcule as seguintes integrais:
integral-infty^infty de

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer calcular a integral
integral-infty^infty de
Isso faz parte de sinais e sistemas, mais especificamente das propriedades da função delta de Dirac e da convolução. Para resolver, a gente vai precisar da “propriedade de seleção” (ou sifting property) da delta:
integral-infty^inftyde

Passo 2

Primeiro, lembra o que é a delta de Dirac? Não é uma função normal, mas uma “distribuição” que é zero em todo lugar, exceto em integral-infty^infty de, onde ela “explode”. O truque é que, apesar de parecer infinita em zero, sua integral é 1:
integral-infty^inftyde
E a propriedade mais útil é:
Ou seja, a delta “puxa” o valor da função exatamente em .

Passo 3

No nosso caso, a gente tem integral-infty^inftyde. Então a integral vira
onde .

Passo 4

Substituindo, dá simplesmente
g(0) = f(t)

Resposta

integral-infty^inftyde

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