Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
é a curva
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva definida por
e
, onde
varia de
a
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Essencialmente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, a função a ser integrada é
. Para calcular a integral, precisamos expressar tudo em termos de uma única variável, que aqui é o parâmetro
.
Passo 3
A próxima etapa é determinar o elemento de arco
. Para uma curva parametrizada por
e
, o
é dado por:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na fórmula do
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
e a expressão para
em termos de
, podemos substituir na integral original:
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A primeira integral é simples:
A segunda integral,
, é igual a zero porque o seno de
avaliado de
a
retorna ao ponto de partida:
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva dada é igual a
.