Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
integralgamma x^2 d s é a curva x=cos 2 t e y=sen 2 t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha integralgamma x^2 d s ao longo da curva definida por x = cos 2 t e y = sin 2 t, onde t varia de 0 a 2pi. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco ds.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Essencialmente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, a função a ser integrada é f(x, y) = x^2. Para calcular a integral, precisamos expressar tudo em termos de uma única variável, que aqui é o parâmetro t.

Passo 3

A próxima etapa é determinar o elemento de arco ds. Para uma curva parametrizada por x(t) e y(t), o ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
dxdt = -2 sin 2t e dydt = 2 cos 2t
Substituindo na fórmula do ds:
ds = raiz(-2 sin 2t)^2 + (2 cos 2t)^2 , dt = raiz4 sin^2 2t + 4 cos^2 2t , dt
Simplificando:
ds = raiz4 (sin^2 2t + cos^2 2t) , dt = raiz4 cdot 1 , dt = 2 , dt

Passo 4

Agora que temos ds = 2 , dt e a expressão para x em termos de t, podemos substituir na integral original:
integralgamma x^2 d s = integral0^2pi (cos 2t)^2 cdot 2 , dt = 2 integral0^2pi cos^2 2t , dt
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Aplicando isso:
2 integral0^2pi 1 + cos 4t2 , dt = integral0^2pi (1 + cos 4t) , dt

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi 1 , dt + integral0^2pi cos 4t , dt
A primeira integral é simples:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
A segunda integral, integral0^2pi cos 4t , dt, é igual a zero porque o seno de 4t avaliado de 0 a 2pi retorna ao ponto de partida:
integral0^2pi cos 4t , dt = [sin 4t4]0^2pi = 0
Portanto, a integral total é:
2pi + 0 = 2pi

Resposta

A integral de linha integralgamma x^2 d s ao longo da curva dada é igual a 2pi.

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