Determine a função quadrática cujo gráfico é:
a) Uma parábola com vértice (2,-1) e que passa pelo ponto (5,2).
b) Uma parábola que intercepta o eixo x nos pontos (-1,0) e (3,0) e que passa pelo ponto (0,-3).

Passo 1

O enunciado pede para determinar duas funções quadráticas: a primeira conhecendo vértice e um ponto extra, e a segunda conhecendo as raízes e um ponto extra. O conteúdo é sobre forma canônica (ou vértice) e forma fatorada de uma parábola.

Passo 2

Para a parte (a), usamos a forma canônica de uma função quadrática, que é
f(x)=a(x-h)^2+k
onde (h,k) é o vértice. Aqui temos h=2 e k=-1, então
f(x)=a(x-2)^2-1

Passo 3

Ainda na parte (a), determinamos a usando o ponto (5,2). Substituindo em f(x)=a(x-2)^2-1:
2=a(5-2)^2-1
Logo,
2=9a-1
9a=3
a=tfrac13

Passo 4

Concluímos para (a):
f(x)=tfrac13(x-2)^2-1

Passo 5

Para a parte (b), usamos a forma fatorada de uma parábola, que é
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
onde x1 e x2 são as raízes. Aqui x1=-1 e x2=3, então
f(x)=a(x+1)(x-3)

Passo 6

Ainda na parte (b), encontramos a usando o ponto (0,-3). Substituindo em f(x)=a(x+1)(x-3):
-3=a(0+1)(0-3)=acdot(-3)
Logo,
-3=-3a
a=1

Passo 7

Concluímos para (b):
f(x)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3

Resposta

a) f(x)=tfrac13(x-2)^2-1
b) f(x)=x^2-2x-3

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