Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
, ande
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
O truque é usar primeiro uma mudança que transforme a elipse em círculo e depois coordenadas polares.
Passo 2
Fazemos a mudança
então
e o jacobiano é
logo
. A região
vira
isto é, o semicírculo de raio 1 acima do eixo-
.
Passo 3
Em
a integral fica
Passo 4
Agora usamos coordenadas polares em
:
com
e
. O elemento de área é
. Portanto
Passo 5
Para integrar em
, fazemos
, então
e
. Assim
Passo 6
Voltando à integral completa: