Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
\iint_{R} \operatorname{sen}\left(4 x^{2}+y^{2}\right) d x d y, ande R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(4x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy,
sendo
R=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+y^{2}\le1,\;y\ge0\bigr\}.
O truque é usar primeiro uma mudança que transforme a elipse em círculo e depois coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a mudança
u=2x,\quad v=y,
então
4x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2},
e o jacobiano é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\tfrac12,
logo dx\,dy=\tfrac12\,du\,dv. A região R vira
u^{2}+v^{2}\le1,\quad v\ge0,
isto é, o semicírculo de raio 1 acima do eixo- u.

Passo 3

Em u,v a integral fica
\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)\,dx\,dy =\frac12\iint_{u^{2}+v^{2}\le1,\;v\ge0}\operatorname{sen}\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)\,du\,dv.

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares em (u,v):
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi]. O elemento de área é du\,dv=r\,dr\,d\theta. Portanto
\frac12\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Para integrar em r, fazemos t=r^{2}, então dt=2r\,dr e r\,dr=\tfrac12\,dt. Assim
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr =\frac12\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t)\,dt =\frac12\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{1} =\frac12\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Passo 6

Voltando à integral completa:
\frac12\int_{0}^{\pi}\Bigl[\frac12\bigl(1-\cos(1)\bigr)\Bigr]\,d\theta =\frac14\bigl(1-\cos(1)\bigr)\int_{0}^{\pi}d\theta =\frac\pi4\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(4x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\frac\pi4\bigl(1-\cos(1)\bigr).

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