Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\operatorname{arccos} y} \operatorname{sen}(x) \sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)} d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arccos} y}\operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dx\,dy
e pede o seu valor, observando que é necessário trocar a ordem de integração. Informações relevantes dadas:
  • A variável externa y varia em 0\le y\le1.
  • Para cada y fixo, a variável interna x varia em 0\le x\le \operatorname{arccos} y.
  • A integranda é \operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 2

Determinar a região de integração no plano (x,y). A condição 0\le x\le \operatorname{arccos} y pode ser reescrita em forma de desigualdade envolvendo y: para y\in[0,1] tem-se \operatorname{arccos} y\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e a desigualdade x\le\operatorname{arccos} y equivale a
y \le \cos x.
Além disso x\ge0 e y\ge0. Assim a região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\ 0\le y\le \cos x\}.
Portanto, ao inverter a ordem, x varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e, para cada x, y varia de 0 a \cos x.

Passo 3

Escrever a integral com a ordem trocada e efetuar a integração interna em y. Usando a região obtida:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arccos} y}\operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dx\,dy = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos x}\operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dy\,dx.
A integranda não depende de y, logo a integral interna em y é simplesmente o produto da integranda pelo comprimento do intervalo em y:
\int_{0}^{\cos x}\operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dy =\operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\cdot\cos x.
Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\cos x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição adequada para integrar. Observe que a presença de \operatorname{sen}(x)\cos x sugere a substituição
u=1+\operatorname{sen}^{2}(x).
Calcular a derivada:
\frac{du}{dx}=2\operatorname{sen}(x)\cos x,
ou seja
\operatorname{sen}(x)\cos x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Essa escolha elimina o produto trigonométrico e transforma a raiz numa potência simples.

Passo 5

Mudar os limites e calcular a integral em u. Para x=0 tem-se \operatorname{sen}(0)=0 e portanto u=1. Para x=\tfrac{\pi}{2} tem-se \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 e portanto u=2. Substituindo:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\cos x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}\,dx =\int_{1}^{2}\frac{1}{2}u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2}:
\int_{1}^{2}\frac{1}{2}u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} =\frac{1}{3}\left(u^{3/2}\right)\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{3}\left(2^{3/2}-1\right).
Lembrando que 2^{3/2}=2\sqrt{2}, a expressão pode ser escrita também como \dfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)

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