Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração) \int_{0}^{1} \int_{0}^{\operatorname{arccos} y} \operatorname{sen}(x) \sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)} d x d y
e pede o seu valor, observando que é necessário trocar a ordem de integração. Informações relevantes dadas:
A variável externa y varia em 0\le y\le1.
Para cada y fixo, a variável interna x varia em 0\le x\le \operatorname{arccos} y.
A integranda é \operatorname{sen}(x)\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Passo 2
Determinar a região de integração no plano (x,y). A condição 0\le x\le \operatorname{arccos} y pode ser reescrita em forma de desigualdade envolvendo y: para y\in[0,1] tem-se \operatorname{arccos} y\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e a desigualdade x\le\operatorname{arccos} y equivale a
Fazer a substituição adequada para integrar. Observe que a presença de \operatorname{sen}(x)\cos x sugere a substituição
u=1+\operatorname{sen}^{2}(x).
Calcular a derivada:
\frac{du}{dx}=2\operatorname{sen}(x)\cos x,
ou seja
\operatorname{sen}(x)\cos x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Essa escolha elimina o produto trigonométrico e transforma a raiz numa potência simples.
Passo 5
Mudar os limites e calcular a integral em u. Para x=0 tem-se \operatorname{sen}(0)=0 e portanto u=1. Para x=\tfrac{\pi}{2} tem-se \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 e portanto u=2. Substituindo: