Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
\int_{0}^{1} \int_{y / 2}^{1 / 2} e^{-x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{y/2}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx\,dy,
e avisa que é necessário mudar a ordem de integração. As informações dadas são:
  • O integrando é e^{-x^{2}}.
  • A integral interna (em x) vai de x=y/2 até x=1/2.
  • A integral externa (em y) vai de y=0 até y=1.
Vamos primeiro entender bem a região de integração no plano (x,y) antes de trocar a ordem.

Passo 2

Descrever a região D dada pelas desigualdades que aparecem nos limites:
  • 0 \le y \le 1 (venho do limite externo),
  • y/2 \le x \le 1/2 (venho do limite interno).
Escrever essas desigualdades de uma forma que facilite inverter a ordem:
A condição y/2 \le x é equivalente a y \le 2x. Juntando tudo:
0 \le y \le 1,\qquad y \le 2x,\qquad x \le \tfrac{1}{2}.
Para achar os limites em ordem dx\,dy \to dy\,dx (ou seja, integrar primeiro em y), é mais simples achar os valores extremos de x na região e, para cada x, os valores possíveis de y.
Observação geométrica (imagine ou desenhe um esquema): a reta y=2x passa pela origem e em x=\tfrac{1}{2} tem y=1. Com y variando de 0 a 1, os pontos (x,y) na região ficam entre x=y/2 e x=1/2. Isso mostra que x vai de 0 até \tfrac{1}{2} e, para cada x nessa faixa, y vai de 0 até 2x.
Logo, a região D pode ser descrita como
0 \le x \le \tfrac{1}{2},\qquad 0 \le y \le 2x.

Passo 3

Trocar a ordem de integração usando a descrição encontrada. A integral dada se transforma em
\int_{0}^{1}\int_{y/2}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1/2}\int_{y=0}^{2x} e^{-x^{2}}\,dy\,dx.
Aqui é importante notar que e^{-x^{2}} não depende de y, então ao integrar em y vamos simplesmente multiplicar por (\text{comprimento em }y)=2x.

Passo 4

Executar a integração interna em y:
\int_{y=0}^{2x} e^{-x^{2}}\,dy = e^{-x^{2}}\cdot\Big[y\Big]_{0}^{2x} = e^{-x^{2}}\cdot(2x).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1/2} 2x\,e^{-x^{2}}\,dx.
Pequena observação didática: sempre que o integrando não depende da variável de integração interna (aqui y), a integral sobre essa variável é o integrando vezes a medida do intervalo (aqui 2x).

Passo 5

Resolver a integral em x. Fazer a substituição conveniente:
Deixe u = x^{2}. Então du = 2x\,dx. Quando x=0 temos u=0. Quando x=\tfrac{1}{2} temos u=\tfrac{1}{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{1/2} 2x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1/4} e^{-u}\,du.
Essa é uma integral elementar. Calcule:
\int_{0}^{1/4} e^{-u}\,du = \big[-e^{-u}\big]_{0}^{1/4} = -e^{-1/4} - \big(-e^{0}\big) = 1 - e^{-1/4}.

Passo 6

Interpretação final: a troca de ordem tornou possível integrar exatamente porque a integral de e^{-x^{2}} em x não tem primitiva elementar, mas integrando primeiro em y (onde o integrando é constante) obtemos um fator 2x que permite a substituição u=x^{2} e calcular a integral.

Resposta

1 - e^{-1/4}

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