Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e avisa que é necessário mudar a ordem de integração. As informações dadas são:
- O integrando é
. - A integral interna (em
) vai de até . - A integral externa (em
) vai de até .
Vamos primeiro entender bem a região de integração no plano
antes de trocar a ordem.
Passo 2
Descrever a região
dada pelas desigualdades que aparecem nos limites:
-
(venho do limite externo), -
(venho do limite interno).
Escrever essas desigualdades de uma forma que facilite inverter a ordem:
A condição é equivalente a
. Juntando tudo:
A condição
Para achar os limites em ordem
(ou seja, integrar primeiro em
), é mais simples achar os valores extremos de
na região e, para cada
, os valores possíveis de
.
Observação geométrica (imagine ou desenhe um esquema): a reta
passa pela origem e em
tem
. Com
variando de
a
, os pontos
na região ficam entre
e
. Isso mostra que
vai de
até
e, para cada
nessa faixa,
vai de
até
.
Logo, a região
pode ser descrita como
Passo 3
Trocar a ordem de integração usando a descrição encontrada. A integral dada se transforma em
Aqui é importante notar que
não depende de
, então ao integrar em
vamos simplesmente multiplicar por
.
Passo 4
Executar a integração interna em
:
Portanto a integral reduz-se a
Pequena observação didática: sempre que o integrando não depende da variável de integração interna (aqui
), a integral sobre essa variável é o integrando vezes a medida do intervalo (aqui
).
Passo 5
Resolver a integral em
. Fazer a substituição conveniente:
Deixe . Então
. Quando
temos
. Quando
temos
.
Deixe
Substituindo:
Essa é uma integral elementar. Calcule:
Passo 6
Interpretação final: a troca de ordem tornou possível integrar exatamente porque a integral de
em
não tem primitiva elementar, mas integrando primeiro em
(onde o integrando é constante) obtemos um fator
que permite a substituição
e calcular a integral.