Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int 16 \sin ^{2}(x) \cos ^{2}(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 16 \sin^2(x)\,\cos^2(y)\,dy.
Trata-se de uma integral em y de uma função trigonométrica em que \sin^2(x) pode ser vista como constante.

Passo 2

Fatoramos o termo que não depende de y:
\int 16 \sin^2(x)\,\cos^2(y)\,dy =16\,\sin^2(x)\,\int \cos^2(y)\,dy.

Passo 3

Usamos a identidade de redução
\cos^2(y)=\frac{1+\cos(2y)}{2}
para reescrever a integral:
\int \cos^2(y)\,dy =\int \frac{1+\cos(2y)}{2}\,dy =\frac12\int 1\,dy+\frac12\int \cos(2y)\,dy.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\frac12\int 1\,dy=\frac{y}{2},
\frac12\int \cos(2y)\,dy =\frac12\cdot\frac{\sin(2y)}{2} =\frac{\sin(2y)}{4}.
Logo,
\int \cos^2(y)\,dy =\frac{y}{2}+\frac{\sin(2y)}{4}+C.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 16\sin^2(x):
16\sin^2(x)\Bigl(\frac{y}{2}+\frac{\sin(2y)}{4}\Bigr) =8\sin^2(x)\,y+4\sin^2(x)\,\sin(2y)+C.

Resposta

8\sin^2(x)\,y+4\sin^2(x)\,\sin(2y)+C.

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