Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int_{0}^{\pi} 8 \sin ^{4}(2 \pi x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int_{0}^{\pi} 8\sin^{4}\bigl(2\pi x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a redução de potência de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade que expressa \sin^{4}\theta em termos de cossenos de múltiplos de \theta.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o 8 para fora da integral:
\int_{0}^{\pi} 8\sin^{4}\bigl(2\pi x\bigr)\,dx = 8 \int_{0}^{\pi} \sin^{4}\bigl(2\pi x\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a identidade de redução de potência:
\sin^{4}\theta = \frac{3 - 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}.
Aqui, basta tomar \theta = 2\pi x.

Passo 4

Substituindo na integral,
\sin^{4}\bigl(2\pi x\bigr) = \frac{3 - 4\cos\bigl(4\pi x\bigr) + \cos\bigl(8\pi x\bigr)}{8},
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8\sin^{4}\bigl(2\pi x\bigr) = 3 - 4\cos\bigl(4\pi x\bigr) + \cos\bigl(8\pi x\bigr).
A integral vira
I = \int_{0}^{\pi}\bigl[\,3 - 4\cos(4\pi x) + \cos(8\pi x)\bigr]\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi}3\,dx = 3\pi.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(4\pi x)\,dx = \left.\frac{\sin(4\pi x)}{4\pi}\right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin(4\pi^2)}{4\pi} - 0.
  3. \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(8\pi x)\,dx = \left.\frac{\sin(8\pi x)}{8\pi}\right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin(8\pi^2)}{8\pi} - 0.

Passo 6

Reunindo tudo,
I = 3\pi \;-\;4\cdot\frac{\sin(4\pi^2)}{4\pi}\;+\;\frac{\sin(8\pi^2)}{8\pi} = 3\pi \;-\;\frac{\sin(4\pi^2)}{\pi}\;+\;\frac{\sin(8\pi^2)}{8\pi}.

Resposta

3\pi \;-\;\frac{\sin\bigl(4\pi^2\bigr)}{\pi}\;+\;\frac{\sin\bigl(8\pi^2\bigr)}{8\pi}.

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