Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int \cos ^{3}(2 x) \sin ^{5}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \cos^{3}(2x)\,\sin^{5}(2x)\,dx.
Este é um caso de integral de potências de seno e cosseno em que uma das potências (a de cosseno) é ímpar. Vamos usar a estratégia de fatorar um \cos(2x) para depois fazer a substituição u=\sin(2x).

Passo 2

Separamos um fator de \cos(2x) e usamos a identidade \cos^2(2x)=1-\sin^2(2x). Assim,
\cos^{3}(2x)\,\sin^{5}(2x) = \cos^2(2x)\,\sin^5(2x)\cdot\cos(2x) = \bigl(1-\sin^2(2x)\bigr)\sin^5(2x)\,\cos(2x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin(2x), \quad du = 2\,\cos(2x)\,dx \;\Longrightarrow\; \cos(2x)\,dx = \tfrac12\,du.
Logo a integral fica
\int \cos^{3}(2x)\,\sin^{5}(2x)\,dx = \int \bigl(1-u^2\bigr)u^5\cdot\tfrac12\,du = \tfrac12\int\bigl(u^5 - u^7\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
\tfrac12\int\bigl(u^5 - u^7\bigr)\,du = \tfrac12\Bigl(\tfrac{u^6}{6} - \tfrac{u^8}{8}\Bigr) + C = \frac{u^6}{12} - \frac{u^8}{16} + C.
Voltando a u=\sin(2x), obtemos a primitiva da integral original.

Resposta

\boxed{\frac{\sin^6(2x)}{12} \;-\;\frac{\sin^8(2x)}{16} + C.}

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