Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int_{0}^{\pi} 3 \sin (x / 3) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{\pi}3\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos usar uma substituição para achar a primitiva de \sin(x/3) e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tfrac{x}{3}, \quad dx = 3\,du.
Quando x=0, u=0; quando x=\pi, u=\tfrac{\pi}{3}. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\pi}3\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/3}3\sin(u)\,\bigl(3\,du\bigr) = \int_{0}^{\pi/3}9\sin(u)\,du.

Passo 3

Para integrar 9\sin(u), lembramos que uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Portanto,
\int 9\sin(u)\,du = -9\cos(u) + C.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental e avaliando de u=0 até u=\tfrac{\pi}{3}, temos
\bigl[-9\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi/3} = -9\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;-\;\bigl(-9\cos(0)\bigr) = -9\cdot\tfrac{1}{2} + 9\cdot1 = -\tfrac{9}{2} + 9 = \tfrac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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