Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
\int \operatorname{tg}^{5} x \cdot \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{tg}^{5}x\;\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, usando que a derivada de \operatorname{tg} x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{tg} x, \qquad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, ela se transforma em
\int \operatorname{tg}^{5}x\;\operatorname{sec}^{2}x\,dx \;=\;\int u^{5}\,du.
Para integrar \int u^{5}\,du, usamos a regra da potência:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{\operatorname{tg}^{6}x}{6} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{tg}^{6}x}{6} + C.

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