Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \,\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx
usando o método de integração por partes. Aqui sabemos que \frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(x)]=\operatorname{sec}(x)\tan(x), o que facilita escolher dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x \qquad\text{e}\qquad dv = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx
pois então du = dx e podemos encontrar v diretamente a partir de dv.

Passo 3

Como \frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(x)]=\operatorname{sec}(x)\tan(x), temos
v = \operatorname{sec}(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtemos a antiderivada
\int x\,\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx = x\,\operatorname{sec}(x) \;-\;\int \operatorname{sec}(x)\,dx.
Sabemos que
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + C.

Passo 5

Logo, uma primitiva é
F(x) = x\,\operatorname{sec}(x) \;-\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.
Agora avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{3}.

Passo 6

Para x=\tfrac{\pi}{3} temos
\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2, \quad \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3},
então
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac{\pi}{3}\cdot 2 \;-\;\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr) = \tfrac{2\pi}{3} - \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).
Para x=0 vem
F(0)=0\cdot1 - \ln(1+0)=0.
Logo o valor da integral é
\frac{2\pi}{3} - \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\,\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx = \frac{2\pi}{3} \;-\;\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

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