Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x) d x
Passo 1
O problema pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \,\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx
usando o método de integração por partes. Aqui sabemos que \frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(x)]=\operatorname{sec}(x)\tan(x), o que facilita escolher dv.
Passo 2
Escolhemos
u = x \qquad\text{e}\qquad dv = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx
pois então du = dx e podemos encontrar v diretamente a partir de dv.
Passo 3
Como \frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(x)]=\operatorname{sec}(x)\tan(x), temos