Calcule as seguintes integrais utilizando coordenadas polares:
\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} d y d x \quad(a>0);

Passo 1

O enunciado pede
I = \int_{0}^{a}\!\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dy\,dx,
que é uma integral dupla sobre o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante, com integrando \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e avaliação de integrais por substituição.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
o jacobiano é r, e o domínio “ 0\le x\le a,\;0\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}}” corresponde a
0\le r\le a, \quad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Assim
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a}r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr.
Use u = a^{2}-r^{2}, du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\tfrac12\,du. Os limites vão de u(a)=0 até u(0)=a^{2}. Então
\int_{0}^{a}r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr =\int_{u=a^{2}}^{0}\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) =\tfrac12\int_{0}^{a^{2}}u^{1/2}du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{a^{2}} =\tfrac{1}{3}a^{3}.

Passo 4

Substituindo no integral em \theta:
I = \int_{0}^{\pi/2}\Bigl(\tfrac{1}{3}a^{3}\Bigr)d\theta =\tfrac{1}{3}a^{3}\cdot\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac{1}{3}a^{3}\cdot\tfrac{\pi}{2} =\frac{\pi\,a^{3}}{6}.

Resposta

\frac{\pi\,a^{3}}{6}.

Exercícios relacionados