Calcule as seguintes integrais utilizando coordenadas polares: \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} d y d x \quad(a>0);
Passo 1
O enunciado pede
I = \int_{0}^{a}\!\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dy\,dx,
que é uma integral dupla sobre o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante, com integrando \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e avaliação de integrais por substituição.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
o jacobiano é r, e o domínio “0\le x\le a,\;0\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}}” corresponde a
0\le r\le a, \quad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Assim
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a}r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr.
Use u = a^{2}-r^{2}, du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\tfrac12\,du. Os limites vão de u(a)=0 até u(0)=a^{2}. Então