Calcule as seguintes integrais utilizando coordenadas polares:
\int_{0}^{a} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x(a>0);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{a}\int_{0}^{x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\;dx,
com a>0, usando coordenadas polares. O conteúdo principal é a mudança de variáveis para coordenadas polares e o cálculo das integrais resultantes.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região de integração D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le a\}. Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos:
  • y\ge0 e y\le x implicam 0\le\theta\le\pi/4.
  • x\le a implica r\cos\theta\le a, ou seja 0\le r\le \tfrac{a}{\cos\theta}.

Passo 3

Na passagem para polares, a função \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e o Jacobiano é r. Assim a integral fica
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\!\int_{r=0}^{a/\cos\theta}r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\,a/\cos\theta} =\frac{1}{3}\,\frac{a^{3}}{\cos^{3}\theta} =\frac{a^{3}}{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.
Logo a integral total é
\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 5

Precisamos de
\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Uma primitiva conhecida é
\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\bigr)+C.

Passo 6

Avaliamo-la de 0 a \pi/4:
em \theta=\pi/4, \operatorname{sec}\theta=\sqrt2, \tan\theta=1, então
\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) =\sqrt2+\ln\bigl(\sqrt2+1\bigr).
Em \theta=0, \sec0=1, \tan0=0 e \ln(1)=0.
Logo
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt2+\ln(\sqrt2+1)\bigr).
Multiplicando por \tfrac{a^{3}}{3}, obtemos
\frac{a^{3}}{3}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sqrt2+\ln(\sqrt2+1)\bigr) =\frac{a^{3}}{6}\bigl(\sqrt2+\ln(\sqrt2+1)\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{a^{3}}{6}\bigl(\sqrt2+\ln(\sqrt2+1)\bigr)}.

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