Calcule as seguintes integrais utilizando coordenadas polares:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
com
, usando coordenadas polares. O conteúdo principal é a mudança de variáveis para coordenadas polares e o cálculo das integrais resultantes.
Passo 2
Primeiro descrevemos a região de integração
. Em coordenadas polares
,
, temos:
-
e implicam . -
implica , ou seja .
Passo 3
Na passagem para polares, a função
vira
e o Jacobiano é
. Assim a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo a integral total é
Passo 5
Precisamos de
Uma primitiva conhecida é
Passo 6
Avaliamo-la de
a
:
em ,
,
, então
em
Em
,
,
e
.
Logo
Logo
Multiplicando por
, obtemos